年度 平成26年度 日付 2014年8月7日 概要 「黄金期の微積分学」　講師：西村泰一 先生 微積分学の基礎を築いたのはニュートンですが、彼は１７世紀の人物です。１８世紀にはラグランジュやオイラーを始め、名だたる数学者がいます。１７世紀や１８世紀の微積分学は冪零無限小を用いて展開されていました。冪零無限小というのは何回か掛け合わせると０になってしまうような小さい実数です。何回か掛け合わせて０になるなら、もともとその数は０ではないかと思うかもしれませんが、こんな数が０以外にも一杯あるような世界で微積分学を楽しんでいたのです。喩えていうと、河童みたいなものですね。昔はどこの沼や川に行っても、河童は必ず見ることができたのですが、最近は河童の目撃談はあまり聞きませんね。どうも死に絶えてしまったようです。環境の変化についていけなかったのかもしれません。 １９世紀になると、冪零無限小はいい加減という烙印を押されて追放され、かわって微積分学は極限を用いて展開されることになります。高校の教科書には極限の単元があり、その後に微分や積分の 単元がきますが、これはそうした１９世紀の動きを踏まえてのものです｡大学で数学を専攻すると、さらに悪名高いεーδでそれに箔をつけます。オイラーというのは、きわめて多産な数学者ですが、”彼がもしも εーδで論文を書かなければいけなかったとしたら、あんなに沢山の論文を書くことは、とてもできなかったであろう”とは、よく言われる話しです。 この講義では冪零無限小を用いた微積分学を楽しんでもらいます。それがいかに躍動感に満ちたものか、堪能してください。 　

年度 平成25年度 日付 平成25年8月9日 概要 『フェルマー予想の話』 木村健一郎 先生 フランスの数学者フェルマー(1601-1665)は、自分の持っていた本(ディオファントスの「数論」)の余白に次のような意味のことを書きました。 「nが3以上のとき、xn+yn=znをみたす自然数x,y,zは存在しない」 また「私はこのことの真に驚嘆すべき証明を発見したが、この余白はそれを書くには狭すぎる」とも書いています。x2+y2=z2をみたす自然数x,y,zは無数にあるのに、nが3になったとたんに一つも無くなってしまうのです。フェルマーは彼の「証明」を書き残しませんでした。そのためこの主張はフェルマー予想と呼ばれます。その後300年以上にわたりこれを証明しようと多くの試みがなされましたが、誰も成功しませんでした。しかしその努力が数学の進歩のきっかけとなったこともあります（クンマーなど）。 最終的に証明を与えたのは、アンドリュー・ワイルスで、1994年のことです。しかし彼は直接証明したわけではありません。実はその何年か前に、フライとリベットという人たちが、「谷山-志村予想」という予想が正しければフェルマー予想が正しいことを示しました。谷山-志村予想は、一言でいうと「有理数体上の楕円曲線はモジュラーである」というものです。ワイルスはテイラーという人の協力を得て、谷山-志村予想（の重要な場合）の証明に成功したのです。谷山-志村予想（ワイルスの定理）は、20世紀の数学が達した一つの頂点と言えるものです。この講義では、その内容の不思議さを、実例の計算を通して感じてもらいたいと思います。ワイルスの仕事は、20世紀の初めに高木貞治が証明した「類体論」をさらに進めた「非可換類体論」への一歩を踏み出したものと言えます。類体論についても具体例を計算してもらい、その雰囲気を感じてみたいと思います。

年度 平成２４年度 日付 平成２４年８月２日 概要 『面積を数えよう』竹山 美宏 先生 私たちは, 小学校の算数で長方形や三角形, 平行四辺形などの面積の公式を学びました. どの公式も, 辺の長さや高さを足したり掛けたり2で割ったりするものですから, 面積を計算するためには(長さを)『測る』という操作が必要なはずです. ところが, ある世界では面積を『数えて』計算することができます. 舞台となるのは下の図のように点が等間隔に並んだ世界です. この点を頂点とする多角形を考えます. 点の間隔を1としましょう. すると, 左の三角形の底辺の長さは3, 高さは2ですから, 面積は3 \times 2 \times \frac{1}{2} = 3です. 右の四角形は正方形で, 一辺の長さは√5ですから, 面積は √5×√5=5です. では, 下の多角形の面積はいくつでしょうか？ このように複雑な場合は, 普通に面積を計算すると大変です. 実は, 上の多角形の面積は次の式で求められます.  3+¥frac{1}{2}¥times 13-1=¥frac{17}{2}  この計算では, あるものを『数えて』面積を求めているのですが・・・.  今回の体験学習では, 上の問題を通じて, 参加者のみなさんと一緒に数学の研究を疑似体験してみようと思います.