粗凸空間とその理想境界

日　時　2025年11月19日（木）16:45〜18:00

場　所　自然系学系D棟D509

講演者　深谷 友宏（東京都立大学）

題　目　粗凸空間とその理想境界

概　要　講演者は尾國新一氏（愛媛大）との共同研究にて、単連結な非正曲率リーマン多様体の粗幾何学（空間を遠くから眺めた時に見える構造に着目した幾何学）における類似物である、粗凸空間を導入し、その理想境界（無限遠境界）を構成した。Cartan-Hadamardの定理により、単連結非正曲率リーマン多様体の理想境界は常に球面になるが、粗凸空間の理想境界はより複雑な空間になり得る。さて、しばしば距離空間の粗幾何学的情報は、その境界に織り込まれていることがある。実際に、固有な粗凸空間の粗ホモロジーは、境界のホモロジーと同型になる。この結果にHigson-Roeによる指数定理の研究を適用することにより、粗凸空間上の「Dirac型作用素」の指数を、理想境界のホモロジーを用いて分類することができる。
本講演では、上述の理論の応用として、閉多様体の基本群が粗幾何学の意味で非正曲率を持つときに、スカラー曲率が正となるリーマン計量が存在しないという結果を紹介する。